KURZUS: Gépszerkezettan II.

MODUL: I. modul: A gépelemek méretezésének alapelvei

Kiegészítés az I. modulhoz

|  | Az alábbiakban néhány egyszerű feladat részleges megoldását követheti nyomon. Kérjük, tanulmányozta ezeket a feladatokat, majd próbálja önállóan is megoldani valamennyit.
| A példákban összefoglaltuk azokat a szilárdságtani tudnivalókat is, amelyek ismerete nélkül a megoldásokhoz nem, vagy csak nagyon nehezen juthatunk el.

|  | 1. Acél esetében a megengedett feszültség meghatározásához határfeszültségnek az anyag folyáshatárát tekintjük.
| Határozzuk meg a megengedett feszültséget az ReH = 250 N/mm2 folyáshatárú acél esetében, ha a biztonsági tényező értéke n = 1,5!
| Számítás: σ m e g = σ h a t n = 250 1,5 = 167 N/mm2
| 2. Egyszerű igénybevételről akkor beszélünk, ha a gépalkatrészt egyidejűleg csak egyfajta (húzó, nyomó, hajlító, ...) igénybevétel terheli.
| Húzó igénybevétel: egy adott gépalkatrész valamely felületére merőlegesen ható erő, amely azt erő irányú növekedésre készteti. Húzáskor az alkatrészben σ feszültség ébred.
| Az alapegyenlet:
| σ= F A = h ú z ó e r ő h ú z o t t f e l ü l e t [ N m m 2 ]
| Feladat: Határozzuk meg az ébredő feszültséget egy kör keresztmetszetű rúdban, ha a rúd átmérője d=20 mm, a húzóerő pedig F=70000 N.
| Számítás:
| σ= F A , ahol A= d 2 π 4 [mm2]
| σ= 70000∗4 20 2 ∗π ≅223 N m m 2
| Milyen folyáshatárú anyagból készülhet a rúd, ha n =1,5-szörös biztonságot szeretnénk?
| Határesetben a σ meg = σ ébredő =223 N mm 2
| σ m e g = σ h a t á r n = R e H n → R e H = σ m e g ∗n
| ReH = 223*1,5 = 334,5 N/mm2
| 3. Határozza meg egy húzott kör keresztmetszetű rúdban az ébredő feszültséget! Ellenőrizze, hogy a választott anyagminőségű (folyáshatárú) acél kibírja-e az igénybevételt?
| Adatok: terhelés, F = 10000N átmérő, d = 30 mm folyáshatár, ReH = 290 N/mm2 biztonsági tényező, n = 1,5
| Számítás:
| A rúdban ébredő tényleges feszültség,
| σ= F A = F d 2 π 4 = 4 F d 2 π = 4∗10000 30 2 π ≈14,2 N m m 2
| A választott anyag akkor megfelelő, ha σ t é n y l e g e s ≤ σ m e g
| σ m e g = σ h a t á r n = R e H n = 290 1,5 =193,3 N m m 2 , tehát a választott anyag feszültség szempontjából megfelel.
| Megjegyzés: egyéb szempontok (pl. gazdasági, formai) alapján ez a rúd túlméretezett, mert az ébredő feszültség túl kicsi a megengedetthez képest. Csökkenthetjük tehát a rúd átmérőjét, vagy választhatunk kevésbé jó minőségű, vagyis kisebb folyáshatárú anyagot.
| 4. Nyomás: az alkatrész felületére merőleges erő hat, amely alakváltozás szempontjából rövidülést eredményez. A rúdban σ feszültség ébred. Az alapegyenlet:
| σ= F A = n y o m ó e r ő n y o m o t t f e l ü l e t [ N m m 2 ]
| Feladat: Négyzet keresztmetszetű oszlopot F=200000N nyomásra vesz igénybe. Az oszlop keresztmetszetének oldalhossza, a = 50 mm, anyagának folyáshatára 250N/mm2. A szerkezet biztonsága szempontjából az anyagminőségi biztonsági tényezőt n = 2-nek választjuk. Megfelelő-e az alkalmazott oszlop?
| Adatok: F = 200000 N a = 50 mm - amiből a felület: A = a2 = 502 = 2500 mm2 ReH = 250 N/mm2 n = 2, így:
| σ m e g = R e H n = 220 2 =110 N m m 2
| Az oszlopban ébredő tényleges feszültség:
| σ= F A = 200000 2500 =80 N m m 2
| σ< σ meg , tehát az oszlop megfelelő!
| 5. Mekkora átmérőjű rúddal helyettesíthetnénk az előbbi négyzet keresztmetszetű oszlopot?
| 6. Nyírásnál τ, azaz csúsztatófeszültség ébred. A nyírás alapegyenlete:
| τ= F A = n y í r ó e r ő n y í r t ker⁡e s z t m e t s z e t =[ N m m 2 ]
| A tényleges nyírófeszültséget mindig a megengedett nyírófeszültséghez ( τ meg ) kell viszonyítani.
| Feladat: Egy csapot F = 8 kN nyíróerő terhel. A csap anyagára megengedett σ feszültség: σ meg =120 N mm 2 .
| Mekkora átmérőjű csap bírja ki ezt az igénybevételt?
| Adatok: F = 8 kN
| σ meg =120 N mm 2 → τ meg =0,65⋅ σ meg =78 N mm 2
| Határesetben τ tényleges = τ meg , ami a méretezés alapkikötése.
| τ t é n y l e g e s = F A ; A= d 2 π 4 [ m m 2 ]
| τ t é n y l e g e s = F∗4 d 2 π = τ m e g → d= 4∗8000 π∗78 = 130,65 =11,43 m m , tehát a csap átmérője kerekítve d = 12 mm, amely méretű csap már kibírja a fenti igénybevételt.
| 7. Hajlításnál σ feszültség ébred. A hajlítás alapegyenlete:
| σ= M K = h a j l í t ó n y o m a t é k ker⁡e s z t m e t s z e t i t é n y e z ő [ N m m 2 ]
| A hajlítónyomaték mindig a terhelés (erő) és karja segítségével számítható:
| M = F * k [Nmm]
| A hajlító igénybevételnél nagyon fontos a keresztmetszet alakja, mert az ébredő feszültség nemcsak a keresztmetszet nagyságától, hanem annak alakjától is függ. Ezt vesszük figyelembe a másodrendű vagy inercia nyomatékkal, illetve a keresztmetszeti tényezővel. A keresztmetszeti tényező az inercianyomaték (I) és a szélsőszál távolságának (inerciasugár = e) hányadosa, bármely keresztmetszet esetén. (A szélsőszál a semleges vonaltól (tengelytől) vett legnagyobb távolság.)
| Feladat: Kör keresztmetszetű rudat F = 10 kN erő 100 mm karon hajlításra vesz igénybe. A rúd átmérője 40 mm, a megengedett feszültség a rúd anyagára 150 N/mm2. Kibírja-e a rúd ezt az igénybevételt?
| Adatok: F = 10 kN = 10000 N d = 40 mm k = 100 mm σ meg = 150 N/mm2
| A hajlítónyomaték: M = F * k = 10000 * 100 = 106 Nmm
| A keresztmetszeti tényező: K= I e , ahol I = a kör másodrendű nyomatéka: I= d 4 π 64 , a szélsőszál távolsága pedig: e= d 2 .
| Behelyettesítve: K= d 4 ∗π 64∗ d 2 = d 3 π 32 [ m m 3 ]
| A fenti adatokkal: K= 40 3 π 32 =6280 m m 3
| A tényleges hajlítófeszültség: σ= M K = 10 6 6280 ≅159,24 N m m 2 , tehát a rúd nem bírja ki a fenti igénybevételt, mert σ tényleges hajl. > σ meg
| 8. Egy tengely terhelése és helyzete az alábbi modellel jellemezhető:
| Adatok: F = 10 kN l = 600 mm d = 50 mm a tengely anyagára megengedett feszültség: σ meg = 140 N/mm2
| Mekkora hajlítófeszültség ébred a tengelyben? Kibírja-e a tengely ezt az igénybevételt?
| 9. Milyen folyáshatárú anyagból kell készíteni (R eH =?) azt a tengelyt, amelyet M=110 Nm hajlítónyomaték terhel, a tengely átmérője d=60 mm, az elvárt biztonság pedig n =1,5?
| 10. Csavarásnál a keresztmetszet síkjába eső τ , ún. csúsztató feszültség ébred. A csavarás alapegyenlete:
| τ= T K p = c s a var⁡ó n y o m a t é k p o l á r i s ker⁡e s z t m e t s z e t i t é n y e z ő [ N m m 2 ]
| A poláris keresztmetszeti tényező a poláris vagy más néven pontra számított másodrendű nyomatékból számítható, mértékegysége mm3.
| Feladat: Egy forgó tengelyt T = 2*103 Nm csavarónyomaték terhel. A tengely átmérője d = 50 mm, a megengedett feszültség τ meg = 85 N/mm2.
| Kibírja-e a tengely ezt az igénybevételt?
| Adatok: T = 2000 Nm = 2*106 Nmm d = 50 mm τ meg = 85 N/mm2
| τ tényleges = ?
| τ= T K p , ahol a Kp a körkeresztmetszet poláris keresztmetszeti tényezője:
| K p = I p e , ahol I p = d 4 π 32 , e= d 2
| K p = d 3 π 16 [ m m 3 ]
| A fenti adatokkal: τ t é n y l e g e s = T K p = 16 T d 3 π = 16∗2∗ 10 6 50 3 π =81,5 N m m 2
| Tehát a tengely kibírja az igénybevételt, mert: τ tényleges < τ meg
| 11. Ellenőrizze az alábbi forgó tengelyt csavarásra!
| Adatok: P = 20 kW = 2* 104 W = 2 * 104 Nm/sec n = 10 1/sec d = 30 mm τ meg = 80 N/mm2
| A csavarónyomaték:
| T= P ω = P 2∗π∗n = 20000 2∗π∗10 =318,47 N m
| A poláris keresztmetszeti tényező:
| K p = d 3 ∗π 16 = 30 3 ∗π 16 =5298,75 m m 3
| A csavarófeszültség:
| τ c s = T K p = 3,1847∗ 10 5 5,29875∗ 10 3 ≅60 N m m 2
| Megfelel a tengely, mert: τ cs < τ meg
| 12. Mekkora átmérőjű tengely kell P = 20 kW teljesítményű és n = 10 1/sec fordulatú hajtásnál, ha a tengely anyagára σ meg acél = 240 N/mm2 feszültség tartható?